金融经济学 | 第8讲：期望效用理论（Ⅱ）

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<hr/>1. 风险厌恶程度的度量

人对风险的厌恶程度决定了人面对风险时的行为，从而影响到资产的价格。
1.1 绝对风险厌恶系数

对一个拥有财富水平y的投资者提供一项投资。这项投资以\pi的概率赢得数额为h的货币，或者以1-\pi的概率输掉数额为h的货币。假设h是一个很小的数。显然，投资者是否会参与这项投资，与\pi的大小密切相关。\pi越大，愿意参与这项投资的投资者会越多。特别的，当\pi=1的时候，可以确定性地赢得h，所有人都会参与这项投资。
很容易想到，风险厌恶度越高的投资者，越是需要更高的赢钱概率\pi来吸引他加入这项投资。我们定义\pi^{*}为使得投资者在参与和不参与投资之间完全无差异的临界值。\pi^*就可以被视为对投资者风险厌恶度的一个度量。下面，我们把\pi^*表示为投资者偏好的函数。
按照\pi^*的定义，我们有
u(y)=\pi^* u(y+h)+(1-\pi^*)u(y-h) \\
将u(y+h)与u(y-h)在y处做泰勒展开，
\begin{aligned} u(y+h)&=u(y)+hu^{\prime}(y)+\frac{h^2}{2}u^{\prime\prime}(y)+o_1(h^2)\\ u(y-h)&=u(y)-hu^{\prime}(y)+\frac{h^2}{2}u^{\prime\prime}(y)+o_2(h^2) \end{aligned} \\
其中的o_1(h^2)和o_2(h^2)为高阶余项，在h很小的情况下可以被略去。
那么，我们有
u(y)=\pi^* [u(y)+hu^{\prime}(y)+\frac{h^2}{2}u^{\prime\prime}(y)]+(1-\pi^*)[u(y)-hu^{\prime}(y)+\frac{h^2}{2}u^{\prime\prime}(y)] \\
则有
0=(2\pi^*-1)hu^{\prime}(y)+\frac{h^2}{2}u^{\prime\prime}(y) \\
解得
\pi^*=\frac{1}{2}+\frac{h}{4}[-\frac{u^{\prime\prime}(y)}{u^{\prime}(y)}] \\
定义
R_A(y)=-\frac{u^{\prime\prime}(y)}{u^{\prime}(y)} \\
R_A(y)就是绝对风险厌恶系数（coefficient of absolute risk aversion）。它也被称为Arrow-Pratt measure of absolute risk-aversion（简称ARA），因为这种方法最先由Pratt与Arrow提出。绝对风险厌恶系数R_A(y)越大，为了吸引投资者参与投资，就需要更高的获胜概率。
<hr/>1.2 相对风险厌恶系数

相对风险厌恶系数（coefficient of relative risk aversion）又被称为Arrow-Pratt-De Finetti measure of relative risk-aversion（简称RRA）。
在前面推导绝对风险厌恶系数的时候，假设输赢的数量与投资者的财富规模无关。现在，我们假设输赢的量是投资者财富的一个固定比例。我们对一个拥有财富水平y的投资者提供一项投资。这项投资以\pi的概率赢得数额为\theta y的货币，或者以1-\pi的概率输掉数额为\theta y的货币。换言之，现在投资者面对的投资项目规模与其初始财富成正比（比例因子为\theta）。我们仍然假设\theta是一个很小的数。类似之前，我们通过以下式子来定义\pi^*为使得投资者在参与和不参与投资之间完全无差异的临界值。
u(y)=\pi^* u(y+\theta y)+(1-\pi^*)u(y-\theta y) \\
将u(y+\theta y)与u(y-\theta y)在y处做泰勒展开并略去二阶以上的高阶余项，可得
\begin{aligned} u(y+\theta y)&=u(y)+\theta yu^{\prime}(y)+\frac{\theta^2}{2}y^2u^{\prime\prime}(y)\\ u(y-\theta y)&=u(y)-\theta yu^{\prime}(y)+\frac{\theta^2}{2}y^2u^{\prime\prime}(y) \end{aligned} \\
那么，我们有
u(y)=\pi^* [u(y)+\theta yu^{\prime}(y)+\frac{\theta^2}{2}y^2u^{\prime\prime}(y)]+(1-\pi^*)[u(y)-\theta yu^{\prime}(y)+\frac{\theta^2}{2}y^2u^{\prime\prime}(y)] \\
则有
0=(2\pi^*-1)\theta yu^{\prime}(y)+\frac{\theta^2}{2}y^2u^{\prime\prime}(y) \\
解得
\pi^*=\frac{1}{2}+\frac{\theta}{4}[-\frac{yu^{\prime\prime}(y)}{u^{\prime}(y)}] \\R_R(y)=-\frac{yu^{\prime\prime}(y)}{u^{\prime}(y)} \\
R_R(y)即为相对风险系数。
<hr/>1.3 几种常见的效用函数

①CARA：常绝对风险厌恶型效用函数（constant absolute risk aversion）。
u(c)=-e^{-\alpha c} \\
相应的绝对风险厌恶系数为R_A(y)=-\frac{u^{\prime\prime}(c)}{u^{\prime}(c)}=-\frac{-\alpha^2e^{-\alpha c}}{\alpha e^{-\alpha c}}=\alpha。
②CRRA：常相对风险厌恶型效用函数（constant relative risk aversion）。
u(c)=\frac{c^{1-\gamma}-1}{1-\gamma} \\
相应的相对风险厌恶系数为R_R(y)=-\frac{cu^{\prime\prime}(c)}{u^{\prime}(c)}=-\frac{c\cdot (-\gamma) c^{-\gamma-1}}{c^{-\gamma}}=\gamma。
当\gamma=1时，CRRA函数退化为对数效用函数u(c)={\rm ln}c。根据洛必达法则，\underset{\gamma\to1}{\rm lim}\frac{c^{1-\gamma}-1}{1-\gamma}=\underset{\gamma\to1}{\rm lim}\frac{-c^{1-\gamma}{\rm ln}c}{-1}={\rm ln}c。
另外，我们经常把CRRA效用函数写成u(c)=\frac{c^{1-\gamma}}{1-\gamma}。
③线性效用函数（风险中性）：
u(c)=\alpha c \\
其中，\alpha为大于0的常数。由于u^{\prime}(c)=\alpha，u^{\prime\prime}(c)=0，所以其绝对风险系数和相对风险系数均为0。
<hr/>参考文献：《金融经济学二十五讲》. 徐高. 中国人民大学出版社. 2018-7