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本文为笔者学习《INTERMEDIATE MICROECONOMICS》时做的翻译与笔记，与原著内容略有出入，希望能与大家一起学习经济学的相关知识。
在上一个章节中，我们已经介绍了消费者选择的基本模型：在预算线的约束下，如何最大化效用来得到最优选择。我们了解到消费者的最优选择依赖于消费者的收入和商品的价格，通过我们也通过一些案例来讲解了什么是最优选择。
消费者的需求函数（demand functions）以函数的形式在一定价格和收入的条件下给出了每个商品的最优数量，我们可以把需求函数写成以下形式：
x_{1}=x_{1}(p_{1},p_{2},m)
x_{2}=x_{2}(p_{1},p_{2},m)
上述等式的左边指的是商品的需求数量，等式右边是关于收入和价格的函数。
在本章节中我们将会探讨需求会随着价格和收入的改变而发生怎样的变化，这种分析方式被称为比较静态（comparative statics）分析，其中“比较”的意思是我们想要对比两种情况：经济环境变化前的情况和经济环境变化后的情况。“静态”的意思是我们不会去关注从一种选择到另外一种选择变动的调整过程，只会去关注已经达到均衡的那些选择。
由此我们可以知道只有两个因素会影响最优选择：价格和收入，而比较静态分析的重点就是研究在价格和收入变化时，需求会发生怎样的改变。
6.1 正常商品和劣等商品（Normal and Inferior Goods）
我们先来思考一下当一个消费者的收入变化时，他/她对于该商品的需求会怎样变化，我们需要将在某一收入条件下的最优选择与在另一收入条件下的最优选择进行对比，在这对比的过程中，我们都假定商品价格保持不变。
我们都知道当商品价格保持不变时，提高收入会使消费者的预算线向外平移，那么在这种情况下会对需求产生怎样的影响呢？
一般而言，我们会觉得随着收入的增加，对于每种商品的需求自然而然也会增加，如下图所示：
正常商品
经济学家们会把符合这种情况的产品叫做正常商品（normal goods），也就是说，如果1号商品是一个正常商品，那么它的需求量就会随着收入的增加而增加，反之其需求量也会随着收入的减少而减少，也就是说，正常商品需求量的变动方向总是与收入的变动方向保持一致：
\frac{\Delta x_{1}}{\Delta m}>0
如果有些商品被称为正常商品，那么必然有一部商品被称为不正常商品，在经济学，这类商品被定义为劣等商品（inferior goods），它的特性与正常商品完全相反，即其需求数量随着收入的增加而减少，如下图所示：
劣等商品
某商品是否属于正常商品取决于我们研究的收入水平，也就是说，正常商品与劣等商品的划分不是一成不变的，例如对于穷人而言，收入增加时对与某些商品的需求会增加，但是当收入增加到一定程度时，对于该商品的需求又会开始下降。
6.2 收入提供曲线和恩格尔曲线（Income Offer Curves and Engel Curves）
我们现在已经知道随着收入的上升，预算线会出现平移，而预算线的平移会产生一系列的需求束，将这些需求束连接起来就得到了收入提供曲线（income offer curve），这条曲线说明了不同收入水平下的相应的需求束，如下图所示：
收入提供曲线
于此同时，收入提供曲线也被称为收入扩展曲线（income expansion path），如果两种商品都是正常商品，那么收入扩展的路径斜率为正，就如上图A小图所示。
对于每个收入水平 m ，消费者对于每种商品都会产生最优选择，我们试着来关注下1号商品，同时思考下在每个价格和收入水平下，最优选择 x_{1}(p_{1},p_{2},m) 是怎样的，即1号商品的需求函数是怎样的。如果我们保持1号商品和2号商品的价格不变，来看一下需求会随着收入的变化而发生怎样的变化，这样我们就得到了恩格尔曲线（Engel curve），恩格尔曲线是在所有商品价格不变的前提下，将其中一个商品的需求视作收入函数的曲线，就如上图中B小兔所示。
6.3 一些例子（Some Examples）
我们再次来研究一下在第五章中提到的不同的偏好情况，我们可以看看在这些不同的偏好条件下，收入提供曲线和恩格尔曲线分别长什么样子。
完全替代（Perfect Substitutes）
当商品是完全替代时，其收入提供曲线如下图所示：
其恩格尔曲线如下图所示，其曲线斜率为 p_{1}：
正如上方2个示意图所示，如果 p_{1}<p_{2} ，那么消费者会专精于消费1号商品，也就是说随着消费者收入的上升，消费者对于1号商品的消费也会上升，这时候收入提供曲线就是横轴线。
既然1号商品的需求是 x_{1}=m/p_{1} ，那么这时恩格尔曲线就会是一条以斜率为 p_{1} 的直线，注意在第二张图中竖轴为 m ，横轴为 x_{1} 。
完全互补（Perfect Complements）
当商品是完全互补时，其收入提供曲线如下图所示：
其恩格尔曲线如下图所示，其曲线斜率为 p_{1}+p_{2} ：
因为在这种情况下，消费者总是会消费相同数量的1号和2号商品，所以我们可以知道1号商品的需求量为 x_{1}=m/(p_{1}+p_{2}) ，所以在第二张而恩格尔曲线的图中我们可以看到其斜率为 p_{1}+p_{2} 。
柯布一道格拉斯偏好（Cobb-Douglas Preferences）
在这种情况下，我们假设效用函数为 u(x_{1},x_{2})=x_{1}^{a}x_{2}^{1-a} ，这时候对于1号商铺的柯布—道格拉斯需求为 x_{1}=am/p_{1} ，如果 p_{1} 的数值一定，着就会变成一个 m 的线性函数（linear function），所以在这种情况下如果收入变为两倍，那么对于1号商品的需求也会变为两倍。事实上，对于 m 乘以一个任意的正数 t ，都相当于把需求乘以相同的数值。
2号商品的需求则为 x_{2}=(1-a)m/p_{2} ，这也是一条直线，结合我们上述的这些性质我们可以得到在这种情况下收入提供曲线如下图所示：
由于我们已经获知1号商品的恩格尔曲线是一条直线，而且它的斜率为 p_{1}/a ，那么我们得到的恩格尔曲线如下图所示：
同类偏好（Homothetic Preferences）
现在我们看到的收入提供曲线和恩格尔曲线都是一条笔直的直线，这是因为我们之前分析的都是较为简单的情况，真正的恩格尔曲线并不一定会是一条直线。一般而言，随着收入的上升，消费者对于某一商品需求的上升幅度有大于或者小于收入的上升幅度，如果商品需求的上升比例大于收入的上升比例，那么我们将这类商品称为奢侈品（luxury good），反之则成为必需品（necessary good）。那么是消费者偏好中的哪一方面导致了这样的结果呢？
我们假定消费者的偏好只与1号商品与2号商品的比率（ratio）有关，这就意味着如果消费者相对于 (y_{1},y_{2}) 更加偏好于 (x_{1},x_{2}) ，那就说明 (2x_{1},2x_{2}) 优于 (2y_{1},2y_{2}) ， (3x_{1},3x_{2}) 优于 (3y_{1},3y_{2}) ，等等，即 (tx_{1},tx_{2}) 优于 (ty_{1},ty_{2}) 对于任意正值 t 都成立。拥有此类性质的偏好被称为同类偏好（Homothetic Preferences），我们上述提到的完全替代，完全互补和柯布一道格拉斯偏好都属于同类偏好。
如果消费者拥有同类偏好，那么他的收入提供曲线就会是一条穿过原点的直线，如下图所示：
具体来讲，在同类偏好的情况下，如果收入以 t 比例增长或者下降，那么消费束也会以相同的比例增长或者下降，这一点性质可从上图从直接观察到。如果无差异曲线与预算线相切于 (x_{1}^{*},x_{2}^{*}) ，那么穿过点 (tx_{1}^{*},tx_{2}^{*}) 的无差异曲线就会与以 t 比例增长或下降的预算线相切，这也就意味着恩格尔曲线也是一条直线，也就是说，如果你的收入变成了两倍，那么你对于每种商品的需求也会变为原来的两倍，如下图所示：
同类偏好在分析收入影响时十分方便，但是不幸的是其模型本身仍然是不现实的，不过我们在之后的章节仍然会经常使用这一类偏好。
拟线性偏好（Quasilinear Preferences）
另外一种能形成特殊形式的收入提供曲线与恩格尔曲线的偏好为拟线性偏好，在第四章的学习中我们已经介绍了拟线性偏好的定义，即这类偏好的无差异曲线会直接向上或者向下平移，其示意图如下图所示：
当偏好为拟线性偏好时，效用函数的形式为 u(x_{1},x_{2})=u(x_{1})+x_{2} ，那么当我们将预算线向外移动时，会发生什么情况呢？在这个情境下，如果无差异曲线在 (x_{1}^{*},x_{2}^{*}) 点与预算线相切，那么其他的无差异曲线对于任意常数 k 一定会在 (x_{1}^{*},x_{2}^{*}+k ) 点与预算线相切。由此可见，收入上的增加并不会改变1号商品的需求，这时候所有的额外收入都会去消费2号商品。在拟线性偏好的情况下，对于1号商品会存在一个“0收入效应”，与此同时对于1号商品的恩格尔曲线会是一条笔直的直线，如下图所示：
那么在真实生活中什么情况下会有这种类型的偏好呢？我们假设1号商品是铅笔，2号商品是用来买其他商品的金钱，在一开始的时候我也许会把我的收入都用来购买铅笔，但是当我的收入增加到一定程度的时候，我就会停止购买额外的铅笔——也就是说，我们额外增加的收入都会被用于购买其他商品。（关于这类偏好的另一个案例是牙膏和盐）总而言之，当我们将某一个在预算约束中只占一小部分的商品与其他所有商品来比较的时候，拟线性偏好的假设就会行得通，当然，这是建立在消费者已经拥有足够大的收入的前提下。
6.4 一般商品和低质物品（Ordinary Goods and Giffen Goods）
我们现在试着来考虑一下价格变动，我们假设1号商品的价格下降，2号商品的价格不变，于此同时消费者的收入增加，那么这时候1号商品的需求数量会发生怎样的改变呢？直觉告诉我们1号商品的需求数量应该会增加，但是这只是建立在1号商品是一般商品的前提下，其示意图如下：
当1号商品的价格下降时，其预算线会变得平坦，换句话说就是其预算线与纵轴的相交点不变，但是与横轴的相交点会向右移动，与此同时，1号商品的最优选择数量也会向右移动，那么这时候1号商品的需求数量就会增加。但是我们得试着思考下这种情况总是会发生吗？随着收入的增加，每种商品的消费数量也都会随之增加吗？
我们如果多加思考就会发现有些商品并不符合上述规律，我们将这类商品定义为低质商品（Giffen Goods），其示意图如下所示：
那么什么条件下才会出现如上图所示的情况呢？我们假设你每周会消费7碗粥和7杯牛奶，现在如果粥的价格下降了，那么这时候如果你还是只是每周消费7碗粥的话，就会有更多的钱去购买牛奶。在这种情况下，你很可能会用这些多剩下的钱去购买牛奶，并且减少自己粥的购买量，注意，你不仅增加了牛奶的购买量，还会减少粥的消费额度。这是因为粥价格的下降可以理解为你收入的上升，虽然在这种条件下你的总收入额没有改变，但是价格的变动导致了最终两种商品消费的改变。
现在经过了这么多模型和理论的学习，你可能会觉得是不是任何事情都可能发生呢？比如如果收入增加，那么某种商品的需求既可能增加，也可能会减少，又或者价格增加，某种商品的需求也不一定减少等等。那么消费理论是否有能力解释所有这些现象呢？事实证明，对最大化模型施加的行为存在限制，（It turns out that there are restrictions on behaviour imposed by the maximizing model.）我们将在下一章具体介绍这些限制条件。
6.5 价格提供曲线与需求曲线（The Price Offer Curve and Demand Curve）
假设我们现在改变1号商品的价格，与此同时保持2号商品的价格与收入不变，从几何学上讲，这涉及到预算线的旋转。（Geometrically this involves pivoting the budget line.）我们将所有最优选择的点相连，从而构造出了价格提供曲线（price offer curve），如下图所示：
图中的曲线代表了在不同价格下形成的需求束
我们可以用一种完全不同的方式来描绘相同的信息，这一次我们还是假设让2号商品的价格和收入保持不变，然后对于1号商品的每一个不同的价格 p_{1} 我们都在图上标注下在该价格条件下的1号商品的需求量，那么我就会得到一条需求曲线，如下图所示：
需求曲线是需求函数即 x_{1}(p_{1},p_{2},m) 的示意图，旨在保持 p_{2} 和 m 不变的前提下看需求会随着价格的变化而发生怎样的改变。
一般而言，当一个商品的价格变大时，该商品的需求就会下降，所以价格与需求会有一个完全相反的（opposite）的变化方向，这就意味着需求需求一般都会有一个负值的斜率，如下数学不等式所示：
\frac{\Delta x_{1}}{\Delta p_{1}}<0
但是，我们可以看到在劣质商品的情况下，需求会随着商品价格下降而下降，这时候需求曲线就会有一个正值的斜率。
6.6 一些例子（Some Examples）
让我们结合之前第三章讨论过的那些偏好形式，来看一下需求曲线的一些例子。
完全替代（Perfect Substitutes）
在红色铅笔和蓝色铅笔即完全替代的例子中，当 p_{1}>p_{2} 时，1号商品的需求数量为0；当 p_{1}=p_{2} 时，1号商品的需求数量为任意值；当 p_{1}<p_{2} 时，1号商品的需求数量为 m/p_{1} 。与此同时为了找到需求曲线，我们将2号商品的价格固定为 p_{2}^{*} ，由此在完全替代情况下的价格提供曲线和需求曲线分别如下图所示： p_{1}=p_{2}^{*}
完全替代情况下的价格提供曲线
完全替代情况下的需求曲线
完全互补（Perfect Complements）
以左鞋和右鞋为代表的完全互补类商品为例，我们知道不管价格如何变化，消费者对于1号商品与2号商品都有一样的需求量，所有价格移动曲线就是一条直线，如下图所示：
在第五章中，我们知道对于1号商品的需求为 x_{1}=\frac{m}{p_{1}+p_{2}} ，如果我们将 m 与 p_{2} 保持不变，并且将 x_{1} 与 p_{1} 一一对应的点相连，就可以得到如下所示的需求曲线：
离散商品（A Discrete Good）
我们假设1号商品是一个离散商品，如果其价格 p_{1} 过高那么消费者选择购买0单位的该商品；如果 p_{1} 降低到一定程度，那么消费者就会购买1单位的该商品。同时在某一价格点 r_{1} ，消费者对于购买1号商品与不购买1号商品偏好是无差异的，这个价格点就被称为保留价格（reservation price），其无差异曲线与需求曲线分别如下图所示：
离散商品情况下的最优消费束
离散商品情况下的需求曲线
由上图可知，在 r_{1} 的价格下，消费者乐意去购买1单位的商品，如果价格下降到了 r_{2} ，消费者就会愿意购买第二个单位的商品，以此类推。
与此同时，这些价格也可以以效用函数的方式来描述。例如， r_{1} 就是消费者正好处对购买0单位1号商品与购买1单位1号商品的无差异点上，所以满足下述数学等式：
u(0,m)=u(1,m-r_{1}) ………………………………………………………………………………（6.1）
相似的， r_{2} 满足如下数学等式：
u(1,m-r_{2})=u(2,m-2r_{2}) …………………………………………………………………（6.2）
等式的左半边是以 r_{2} 的价格消费1单位商品所产生的效用，等式右半边是以 r_{2} 的价格消费2单位商品所产生的效用。如果效用函数是拟线性的，那么描述保留价格的公式将会在一定程度上显得更加简单，即如果 u(x_{1},x_{2})=u(x_{1})+x_{2} ，并且 u(0)=0 ，那么我们可以把等式（6.1）写作以下的形式：
v(0)+m=m=v(1)+m-r_{1}
因为 v(0)=0 ，那么我们可以解出 r_{1}=v(1) …………………………………………………（6.3）
类似地，我们可以将等式（6.2）写作以下的形式：
v(1)+m-r_{2}=m=v(2)+m-2r_{2}
重新排列计算后，我们就可以得到如下形式：
r_{2}=v(2)-v(1)
以此类推，我们可以得到3单位产品的保留价格为以下形式：
r_{3}=v(3)-v(2)
等等。
在每个案例中，保留价格衡量了消费者多购买一单位商品时效用的增量大小，简单来讲，保留价格可以用来描述在对于1号商品不同的消费量下其边际效用的大小，我们凸偏好的假设就意味着保留价格一定是向下递减的，即 r_{1}>r_{2}>r_{3} ……
因为拟线性效用函数的特殊构造，保留价格并不依赖于消费者所拥有的2号商品的数量。假设我们给定任意价格 p ，我们只需要找到它会落在保留价格的哪一块上，如果 p 在 r_{6} 和 r_{7} 之间，那么 r_{6}>p 的事实就会导致消费者愿意放弃 p 美元/单位来购买6单位的1号商品，而 p>r_{7} 的事实表明消费者并不乐意放弃 p 美元/单位来获得7单位的1号商品。
如上这些结论都是比较直觉性的，让我们从数学的角度再来思考这个问题。假设现在对于1号商品的消费者需求为6单位，于此同时我们知道 r_{6}>p>r_{7} 。
如果消费者为了效用最大化，我们一定能得到如下等式：
v(6)+m-6p\geq v(x_{1})+m-px_{1}
对于所有 x_{1} 的可能选择，我们都可以有如下等式：
v(6)+m-6p\geq v(5)+m-5p
重新排列计算这些等式后，我们可以得到如下等式：
r_{6}=v(6)-v(5)\geq p
这样我们就已经完成了一半的任务。
通过同样的逻辑，我们可以得到如下等式：
v(6)+m-6p\geq v(7)+m-7p
重新排列计算这些等式后，我们可以得到如下等式：
p\geq v(7)-v(6)=r_{7}
这样我们就得到了另外一半我们想要的表达式。
6.7 替代与互补（Substitutes and Complements）
我们已经了解了替代与互补这两个词语，但是现在我们要给这两个词汇一个正式的定义，在之前的学习内容中，我们已经学习完全（perfect）替代与完全（perfect）互补，现在我们要去试着学习下非完全（imperfect）替代与互补是什么情况。
我们先来考虑替代的情况，我们之前认为红色铅笔与蓝色铅笔是完全替代的，至少在某些人看来颜色不同对他们而言是无关紧要的，但是如果我们把比较的对象换成铅笔与钢笔呢？这时候就会变成一个“非完全”（imperfect）替代，即铅笔与钢笔只是在一定程度上能替代彼此，但是它们之间的关系并不是蓝色铅笔与红色铅笔那样的完全替代关系。
相似的，我们提到左鞋与右鞋是完全互补的关系，但是如果是一双鞋子与一双袜子它们两者之间还是完全互补的关系吗？左鞋和右鞋几乎总是一起被消费购买，但是袜子与鞋子只是通常（usually）一起被购买，而互补性商品指的就是那些通常被一起购买但是有不算是总是一起被购买的商品。
现在我们已经讨论了关于替代性商品与互补性商品的几个基本概念，由此我们需要给出一个更加精准的经济学定义。我们回想一下1号商品的需求函数，就会发现该函数与1号商品的价格与2号商品的价格都有关联，所以我们将这个函数写为 x_{1}(p_{1},p_{2},m) 。
当2号商品的价格提升时，如果1号商品的需求增加，那么我们称1号商品为替代品（substitute），其含义可有以下数学等式表达：
\frac{\Delta x_{1}}{\Delta p_{2}}>0
在另一方面，当2号商品的价格提升时，如果1号商品的需求减少，那么我们称1号商品为互补品（complement），其含义可有以下数学等式表达：
\frac{\Delta x_{1}}{\Delta p_{2}}<0
互补品指的是那些被一起消费的产品，比如糖和咖啡，所以当其中一个商品的价格提升时，所有商品的消费量都会下降。
关于这几个概念我们需要提出几个警告（warning）：
- 如果只有两个商品，且两个商品之间的关系恰好为互补品或者替代品的案例是非常特殊的，这是因为在保证收入不变的前提下，如果你在1号商品上支出了更多的钱，那么你在2号商品上的消费必然会减少，但是当我们比较的对象超过2个商品时，这一类问题就不太会发生。
- 虽然关于替代品与互补品的定义是建立在消费者需求行为之上的，但是在普遍环境中对于这类定义仍然存在着一些问题。例如，如果我们想要在超过2种商品的环境中使用上述定义，那么很有可能1号商品是3号商品的替代品，同时3号商品又是1号商品的互补品。为了解决这类型的特殊情况，我们会使用不同的定义，这类定义被叫做总替代品（gross substitutes）与总互补品（gross complements）。
6.8 逆需求函数（The Inverse Demand Function）
如果我们将 p_{2} 与 m 保持不变，同时将 p_{1} 与 x_{1} 相对应的点一一相连，我们就可以得到需求曲线（demand curve），一般而言，我们都认为需求曲线向下倾斜的，所以越高的价格就意味着越少的需求，但是劣质商品则是例外。
既然我们提到了向下倾斜的需求曲线，那必然也存在完全不同的情况，它们被称为逆需求函数（inverse demand function）。对于1号商品的每个需求水平，逆需求函数都能用来衡量在该需求水平下1号商品的价格是多少，即需求曲线是从价格算需求，而逆需求函数则是从需求算价格，如下图所示：
例如，在柯布一道格拉斯偏好的情况下，1号商品的需求为 x_{1}=am/p_{1} ，我们这时候对调价格与消费量就可以得到 p_{1}=am/x_{1} ，那么第一个形式就是为需求函数，第二个形式就是为逆需求函数。
逆序求函数拥有非常重要的经济学解释，只要所有的商品的消费量都是正值，那么在最优选择那点上，边际替代率的绝对值一定与两个商品价格的比值相等，如下数学等式：
|MRS|=\frac{p_{1}}{p_{2}}
这就意味着在1号商品的最优选择上，其价格一定符合如下规律：
p_{1}=p_{2}|MRS| ………………………………………………………………………………………………（6.4）
所以，在1号商品的最优需求水平下，1号商品的价格与边际替代率和2号商品的价格成正比。
为了方便计算，我们假设2号商品的价格为1，等式（6.4）告诉我们1号商品的价格与最优选择的需求衡量了消费者有多大意愿来放弃2号商品从而来获得少量的1号商品，在这种情况下，逆需求函数就能够快速计算MRS的绝对值。对于任何最优选择水平上的 x_{1} 逆需求函数都能够告诉我们当消费者失去一小部分1号商品时，他们会需要多少2号商品作为补偿。
如果我们把2号商品看作花费在其他商品上的金钱，那么我们就可以把MRS认为个人愿意花费多少钱来为了获得少量的1号商品，这时候我们就可以把MRS想象成消费者支付的边际意愿。在这个案例中，1号商品的价格就是MRS本身，这就意味着1号商品本身的价格就能用来衡量消费者支付的边际偏好。
对于任意数量的 x_{1} ，逆需求函数衡量了消费者愿意放弃多少美元为了获得一小部分1号商品，或者换句话说，消费者愿意放弃多少美元来为了额外1单位的1号商品。
这样来看的话，向下倾斜的需求函数就有了新的意味，当 x_{1} 非常小的时候，消费者就会愿意放弃很多的金钱（或者很多的其他商品），来为了获得一小部分的1号商品；当 x_{1} 比较大的时候，消费者就会愿意放弃更少的金钱，来获得一小部分更多的1号商品。所以所谓的支付边际意愿，即放弃2号商品换取1号商品的意愿，会随着1号商品消费量的增加而减少。 |
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发表于 2022-11-8 16:30:55
